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Der Artikel Kugel gehört zur Kategorie: Topologie, Raumgeometrie
Eine Kugel ist in der Mathematik die Kurzbezeichnung für Kugelfläche und Kugelkörper. In der Physik kommen dazu noch Impuls, Drehimpuls und Materialeigenschaften wie Masse, Elastizität, Leitfähigkeit, Lichtbrechung.
Kugelfläche und Kugelkörper
Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl r ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl r als Radius der Kugel.
Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt Kugelkörper. Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt.
Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muß, welcher der beiden Begriffe gemeint ist.
Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt (x0, y0, z0) und Radius r ist die Menge aller Punkte (x,y,z), für die
- [Formel]
erfüllt ist.
Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius r und dem Zentrum im Ursprung können wie folgt parametrisiert werden:
- [Formel]
- [Formel]
- [Formel]
Siehe auch: Trigonometrische Funktionen, sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)
Kugelsegmente und Kugelabschnitte
Bringt man eine Ebene mit einer Kugel zum Schnitt, so heißen die beiden dabei entstehenden Teilkörper Kugelsegmente oder Kugelabschnitte. Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkalotte oder Kugelhaube genannt.
Formeln
| Formeln zur Kugel | ||
|---|---|---|
| Umfang (am Äquator) | [Formel] | |
| Oberfläche | [Formel] | |
| Volumen | [Formel] | |
| Projektionsfläche | [Formel] | |
| Volumen eines Kugelsegments | [Formel] | |
| Flächeninhalt einer Kugelkalotte | [Formel] | |
| Kugelradius | [Formel] | |
| Höhe | [Formel] | |
| Trägheitsmoment (Drehachse durch Mittelpunkt) | [Formel] | |
| Öffnungswinkel | [Formel] | |
Begründung der Volumenformel
Nach einer Überlegung des griechischen Mathematikers Archimedes gibt es zu einer Halbkugel mit Radius r einen Vergleichskörper, dessen Volumen mit dem der Halbkugel übereinstimmt, aber einfach zu berechnen ist. Dieser Vergleichskörper entsteht dadurch, dass man aus einem Zylinder (genauer: einem geraden Kreiszylinder) mit Grundflächenradius r und Höhe r einen Kegel (genauer: einen geraden Kreiskegel) mit Grundflächenradius r und Höhe r herausnimmt.
Zum Nachweis, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper gleiches Volumen haben, kann man das Prinzip von Cavalieri heranziehen. Dieses Prinzip beruht auf der Idee, die betrachteten Körper in unendlich viele Scheiben infinitesimaler (unendlich kleiner) Dicke zu zerlegen. (Eine Alternative zu diesem Verfahren wäre die Anwendung der Integralrechnung.) Nach dem erwähnten Prinzip untersucht man für beide Körper die Schnittflächen mit den Ebenen, die zur jeweiligen Grundfläche parallel sind und von dieser einen vorgegebenen Abstand h haben.
Im Falle der Halbkugel ist die Schnittfläche eine Kreisfläche. Der Radius s dieser Kreisfläche ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:
- [Formel]
Damit erhält man für den Inhalt der Schnittfläche
- [Formel].
Im Falle des Vergleichskörpers ist die Schnittfläche dagegen ein Kreisring mit Außenradius r und Innenradius h. Der Flächeninhalt dieser Schnittfläche ist demzufolge
- [Formel].
Für einen beliebigen Abstand h zur Grundfläche stimmen die beiden Schnittflächen also im Flächeninhalt überein. Damit ist gezeigt, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen haben.
Das Volumen des Vergleichskörpers und damit auch der Halbkugel lässt sich nun leicht berechnen. Man muss nur vom Zylindervolumen das Kegelvolumen subtrahieren.
- [Formel] Volumen Zylinder
- [Formel]
- [Formel]
Daher gilt für das Volumen der (Voll-)Kugel:
- [Formel]
Herleitung der Volumenformel mit Hilfe der Integralrechnung
Radius im Abstand x
- [Formel]
Kreisfläche im Abstand x
- [Formel]
Volumen der Kugel [Formel]
- [Formel]
- [Formel]
- [Formel]
Auf die gleiche Weise kann man das Volumen eines Kugelsegments [Formel] der Höhe [Formel] berechnen
- [Formel]
- [Formel]
- [Formel]
Weitere Herleitungen
Die Kugel lässt sich durch die Gleichung- [Formel]
Über die Integralrechnung lässt sich dieses Problem leicht auf zwei Arten lösen:
Wir parametriseren die Kugelfläche
- [Formel]
- [Formel]
- [Formel]
- [Formel]
- [Formel]
- [Formel]
Eine zweite Möglichkeit besteht über die Polarkoordinaten:
- [Formel]
- [Formel]
- [Formel]
- [Formel]
- [Formel]
Eigenschaften
Die Kugel besitzt unendlich viele Symmetrieebenen, nämlich die Ebenen durch den Kugelmittelpunkt. Ferner ist die Kugel drehsymmetrisch bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt und jedes Drehwinkels und punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunktes.
Die Kugel hat die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Flächen mit vorgegebenen Flächeninhalt umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf: Blasen (siehe Seifenblase) und Wassertropfen sind Kugeln (ohne Berücksichtigung der Gravitation), weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren. Planeten sind Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren und die Kugel die Form mit der größten Gravitations-Bindungsenergie ist.
Der einer Kugel umschriebene Zylinder hat das 3/2-fache Volumen der Kugel. Das sowie die Oberflächen- und Volumen-Formeln waren bereits dem Griechen Archimedes in der Antike bekannt.
Eine Kugel kann auch als Rotationskörper aufgefasst werden: Lässt man eine Halbkreisfläche um ihren Durchmesser rotieren, so entsteht dadurch eine Kugel. Wird der Kreis durch eine halbe Ellipsenfläche ersetzt, ergibt sich stattdessen ein Rotationsellipsoid (auch Sphäroid genannt).
Verallgemeinerung
Der Begriff der Kugel lässt sich auf andere Dimensionen übertragen. Analog zur dreidimensionalen Vollkugel ist für eine natürliche Zahl n eine n-dimensionale Kugel definiert als Menge aller Punkte des n-dimensionalen euklidischen Raumes, deren Abstand zu einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) höchstens gleich einer positiven reellen Zahl r (dem Radius) ist. Den Rand der n-dimensionalen Kugel, also die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt gleich r ist, bezeichnet man als (n-1)-Sphäre. Wenn man ohne weitere Angaben von der n-dimensionalen Kugel spricht, meint man meist die n-dimensionale Einheitskugel; in diesem Fall liegt der Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems, und der Radius ist gleich 1.
Nach dieser Definition ist eine 3-dimensionale Kugel also eine gewöhnliche Kugel; ihre Oberfläche entspricht einer 2-Sphäre. Eine 2-dimensionale Kugel ist ein Kreis, der zugehörige Kreisrand eine 1-Sphäre. Eine 1-dimensionale Kugel schließlich ist eine Strecke, wobei die beiden Streckenendpunkte als 0-Sphäre aufgefasst werden können.
Hinweis: Diese Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Sphären im Sinne der hier gegebenen Definition werden zuweilen Kugeln genannt. Außerdem sprechen manche Autoren von n-Sphären, wenn sie (n-1)-dimensionale Sphären im n-dimensionalen Raum meinen.
Das n-dimensionale Volumen einer n-dimensionalen Kugel mit dem Radius r ist
- [Formel].
Hier ist [Formel] die Gammafunktion, eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultät. Den (n-1)-dimensionalen Inhalt der (n-1)-dimensionalen Oberfläche, also der (n-1)-Sphäre erhält man durch Ableitung des Volumens nach dem Radius:
- [Formel]
Eine n-Sphäre ist ein Beispiel einer kompakten n-Mannigfaltigkeit.
Siehe auch
Sphäre, sphärische Geometrie, Kugelzweieck, Kugeldreieck, Ball, Kugelmühle
Weblinks
- Java-Applet zum Kugelvolumen (erfordert Installation von Java 1.4)
simple:Sphere
Diskussion der Autoren über den Artikel: Kugel
du dir sicher, dass quadrische Funktion die richtige Übersetzung von "quadric" ist? --Caramdir 16:26, 15. Sep 2003 (CEST)
Du hast recht, ich hätte mal den Link 'quadric' in der englischen Wikipedia anschauen sollen. Ich kenne leider keine deutsche Bezeichnung für eine solche (Hyper-)Fläche (LEO auch nicht). Aber es geht erstmal ohne den Verweis. --HenrikHolke 09:55, 16. Sep 2003 (CEST)
- Eine mögliche Übersetzung ist Quadrik.(Verwendung z.B in mathematik.uni-stuttgart.de --Stefanwege 21:44, 1. Sep 2004 (CEST)
zur Einleitung
Ich finde den ersten Satz unglücklich gewählt:
- Eine Kugel ist in der Mathematik ein Körper, der nur aus einer Oberfläche besteht...
- Unter einer Kugel versteht man in der Mathematik die Fläche aller Punkte, die den gleichen Abstand von einem Punkt, dem Mittelpunkt, besitzen. Etwas weiter gefasst wird insbesondere ausserhalb der Mathematik auch der von dieser Oberfläche eingeschlossene (Fest)körper als Kugel bezeichnet.
"die Fläche aller Punkte" klingt etwas seltsam. Aber, wenn man "die Menge aller Punkte" schreibt, wird die Fläche nicht erwähnt. --Caramdir 15:50, 16. Sep 2003 (CEST)
Ich würde es "die Menge aller Punkte" nennen, denn innerhalb der Mathematik besteht die "Kugeloberfläche" in höherdimensionalen Räume nicht mehr aus einer zweidimensionalen Fläche, sondern einer n-1 dimensionalen Hyperfläche. (Eine zweidimensionale Kugel hat eine Linie als Oberfläche.) Nur in unserem dreidimensionalen Raum ist die Oberfläche eine Fläche. --SirJective 13:21, 20. Dez 2003 (CET)
Vollkugel / Hohlkugel
Auch in der Mathematik gibt es Kugeln, die nicht hohl sind. Im englischen unterscheidet man zwischen ball und sphere. Das erklaert auch die Bezeichnung Sn fuer die n-dimensionale Hohlkugel, B fuer offene Vollkugeln (Inneres ohne Rand) und [Formel] fuer abgeschlossene Vollkugeln (mit Rand).
Im Deutschen kann der Begriff Kugel je nach Kontext das eine oder andere bedeuten: Entweder Vollkugel oder Hohlkugel (Sphäre). Diese Begriffsverwirrung sollte man noch entwirren, wie es z.B. bei Ordnungsrelation mit Halbordnung/Ordnung/totale Ordnung geschehen ist.
Im Kontext metrischer Raeume verwende ich Kugel und Sphaere, gehts dagegen um Geometrie, verwende ich Vollkugel und Kugel. --SirJective 14:30, 11. Feb 2004 (CET)
Also ich hab mal im Handbuch der Mathematik(Entspricht Kleine Enzeklopädie Mathematik),ISBN 3-7042-6019-3 nachgesehen Dort heißt es (Seite 204): " Die Kugelfläche ist der geometriche Ort aller Punkte des Raumes, die von einem festen Punkt dieses Raumes einen konstanten Abstand haben." und "Der von der Kugelfläche vollständig abgeschlossene Teil des Raumes heißt Kugel". Also: Kugel=Vollkugel Kugelfläche=Hohlkugel --Stefanwege 20:39, 1. Sep 2004 (CEST)
Ich hab auch noch mal ins Netz geschaut und die in der Tabelle unten stehenden Quelle zusammengetragen. Die Quellen sagen das Kugel Volumen und Oberflächen haben. Das haben aber nur 3-dimensionale Körper also die Vollkugel. 2-dimensionale Körper dagegen haben kein Volumen sondern eine Fläche. Auch wenn es einige Quellen gibt die Kugel im Sinne von Hohlkugel verstehen, denke ich das die seriöseren Quellen für Vollkugel stehen. --Stefanwege 21:38, 1. Sep 2004 (CEST)
| Fakt | Quelle |
| Kugel hat Volumen | klassenarbeiten.net,uni-bayreuth.de, didmath.ewf.uni-erlangen.de |
| Kugel hat Oberfläche | klassenarbeiten.net, fersch.de, chemlin.de |
| Kugel hat Fläche | ? |
| Kugel meint Hohlkugel | mathe-aufgaben.de, mathematik.uni-stuttgart.de, chello.at |
| Kugel meint Vollkugel | Spektrum der Wiss. Sept/04 Seite 90, math.ethz.ch, tu-berlin.de, Handbuch der Mathematik, ISBN 3-7042-6019-3 |
Eine Argumentation für die Notwendigkeit von Faktentabellen siehe Stefanwege/Faktentabellen
Nach meinen Recherchen werden die Begriffe in der Literatur häufiger im folgenden Sinn verwendet:
Kugel: Abstand zum Mittelpunkt <= r
Sphäre: Abstand zum Mittelpunkt = r
Diese Festlegung wäre auch konsistent zum Artikel Sphäre (Mathematik). Der gegenwärtige Zustand der Seite ist unbefriedigend, weil die Begriffe im einleitenden Abschnitt und bei der Verallgemeinerung in verschiedenem Sinn gebraucht werden. Wfstb 18:30, 28. Jan 2005 (CET)
- Eine Hohlkugel hat zwei Oberflächen, eine innere und eine äußere. Zwischen beiden besteht (normalerweise) ein Abstand.
Stop der (Begriffsklärung typ 2) ohne Diskussion
Salve Head, es wäre sachlicher, konstruktiver wenn wir uns erst über eine Systematik der Begriffsklärungen einigen und NICHT subjektiv diese nach typ 2 subjektiv im Alleingang einzufügen. (BTW, in der Kugel (Begriffsklärung) sollte unter Punkt 1. mathematisch stehen). Bei diesem Begriff, der der ursprüngliche ist hätte ich nichts gegen Typ2, aber NUR, wenn wir uns mehrheitlich für eine Lösung aussprechen - siehe Diskussion:Droge und Mailingliste. Wobei ich persönlich sehr dagegen wäre, wenn für Typ2 Popularität oder Quantität zählen würde. Gruss RobertMichel 18:02, 16. Feb 2004 (CET)- Meine Güte, du kannst doch nicht über alles abstimmen! --Head 20:42, 16. Feb 2004 (CET)
- Ich will nicht über alles eine Abstimmung sondern nur eine Einigung, wann Typ2 verwendet wird siehe Diskussion:Droge, dies wird bei BKL Typ 1,2,3 das Konfliktpotetial bei unserer gemeinsamen Arbeit nehmen. Und das ist kein Scheiß Gruss RobertMichel 22:49, 16. Feb 2004 (CET)
Formatisierungsfehler
Ich habe es nicht geschafft, das Inhaltsverzeichnis richtig zu formatisieren. "Siehe auch" und "Weblinks" sind in der falschen Hierarchie, kann bitte jemand helfen? Ich sehe den Fehler nicht. --Hutschi 13:00, 20. Sep 2005 (CEST)
Physik
Mathematische und physikalische Eigenschaften hängen eng zusammen. Unter "Begriffsklärung" ist "Kugel (Physik)" nicht vorhanden. Ich habe erst mal provisorisch das im mathematischen Teil mit erwähnt. Es muss entweder einen eigenen Artikel bekommen oder noch ausgebaut werden. --Hutschi 13:12, 20. Sep 2005 (CEST)
